RELATIVIDADE GRACELI NAS Equações de Madelung E OUTRAS PELO SDCTIE GRACELI

quinta-feira, 21 de novembro de 2019

A interpretação de Bohm ou teoria de de Broglie-Bohm da mecânica quântica, também conhecida como teoria da onda piloto, mecânica bohmiana e interpretação causal, generaliza a teoria da onda piloto de Louis de Broglie de 1927, a qual apresenta que ambos, onda e partícula, são reais. David Bohm, aluno de Robert Oppenheimer e contemporâneo de Albert Einstein em Princeton, após publicar Teoria Quântica, elogiada por Einstein como a mais clara explicação que lera sobre o tema, reinterpretou a física quântica de forma divergente da interpretação de Copenhague.

Segundo a interpretação de Bohm, a função de onda evolui de acordo com a equação de Schrödinger, que de algum modo "guia" a partícula. Isto assumindo um universo simples e determinístico, e não dividido (diferindo da interpretação de Copenhague e da interpretação de muitos mundos). A teoria é explicitamente não local. Isto quer dizer que o estado do universo evolui suavemente através do tempo, sem o colapso da função de onda quando uma medição ocorre, como na interpretação de Copenhague. Contudo, deve-se assumir a existência de um grande número de variáveis ocultas, as quais nunca poderiam ser diretamente mensuradas.

Equação de Schroedinger[editar | editar código-fonte]

Inicialmente, Bohm dividiu a equação de Schrödinger em duas partes. A primeira era uma recapitulação da física newtoniana clássica, e a segunda um campo informativo semelhante a ondas. A equação de Schrödinger descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Esta equação pode descrever sistemas moleculares, atômicos e subatômicos, como também sistemas macroscópicos.^[1]

Contrariamente a Niels Bohr (complementaridade onda-partícula) e à escola de Copenhague, Bohm postulou que o elétron se comporta como uma partícula clássica comum, mas tendo acesso a informação sobre o resto do universo. Bohm denominou o segundo termo de potencial quântico, um campo informativo funcional que fornece ao elétron informações sobre o resto do universo físico. Demonstrou que a influência desse potencial quântico dependia apenas da forma, e não da magnitude desse tipo de função de onda, sendo portanto, independente da separação no espaço: todo ponto no espaço contribui com informação para o elétron.

Esta explicação para o comportamento do elétron tem relação com o conceito de holomovimento e com as ordens implícita e explícita que o compõem.

Fundamentação matemática[editar | editar código-fonte]

Na equação de Schrödinger

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

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D

As equações de Madelung ou as equações da hidrodinâmica quântica são uma formulação alternativa de Erwin Madelung equivalente à equação de Schrödinger, escrita em termos de variáveis hidrodinâmicas, similar às equações de Navier-Stokes da dinâmica dos fluidos. A derivação das equações de Madelung^[1] é semelhante à formulação de de Broglie-Bohm, que representa a equação de Schrödinger como uma equação quântica de Hamilton-Jacobi .

Equações[editar | editar código-fonte]

As equações de Madelung ^[2] são equações de Euler quânticas: ^[3]

\partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}\mathbf {u} )=0,

{\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V)

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

\mathbf {u}

é a velocidade do fluxo

\rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}

é a densidade de massa,

Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}

As equações de Madelung são derivadas escrevendo-se a função de onda na forma polar

\psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {{\frac {1}{m}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}e^{{\frac {i}{\hbar }}S(\mathbf {x} ,t)}

e substituindo esta forma na equação de Schrödinger

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t)

O fluxo de velocidade é definido por

\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S

a partir do qual também descobrimos que

{\frac {1}{m}}\rho _{m}\mathbf {u} =\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}[\psi ^{*}(\nabla \psi )-\psi (\nabla \psi ^{*})]

, onde

\mathbf {j}

é a corrente de probabilidade da mecânica quântica padrão.

A força quântica, que é o negativo do gradiente do potencial quântico, também pode ser escrita em termos do tensor quântico de pressão.

\mathbf {F_{Q}} =-\mathbf {\nabla } Q=-{\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

\mathbf {p} _{Q}=-(\hbar /2m)^{2}\rho _{m}\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A integral de energia armazenada no tensor de pressão quântica é proporcional à informação de Fisher, que é responsável pela qualidade das medições. Assim, de acordo com o limite de Cramér-Rao, o princípio da incerteza de Heisenberg é equivalente a uma desigualdade padrão para a eficiência (estatística) das medições. A definição termodinâmica do potencial químico quântico

\mu =Q+V={\frac {1}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}}}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

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TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
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D

segue do equilíbrio da força hidrostática acima

\nabla \mu =(m/\rho _{m})\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}+\nabla V

. De acordo com a termodinâmica, em equilíbrio, o potencial químico é constante em todos os lugares, o que corresponde diretamente à equação estacionária de Schrödinger. Portanto, os autovalores da equação de Schrödinger são energias livres, que diferem das energias internas do sistema. A energia interna das partículas é calculada via

\ \varepsilon =\mu -\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q})(m/\rho _{m})=-\hbar ^{2}(\nabla \ln \rho _{m})^{2}/8m+U

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

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D

e está relacionado com a correção local de Carl Friedrich von Weizsäcker . ^[5] No caso de um oscilador harmônico quântico, por exemplo, pode-se facilmente mostrar que a energia do ponto zero é o valor do potencial químico do oscilador, enquanto a energia interna do oscilador é zero no estado fundamental,

\ \varepsilon =0

. Assim, a energia do ponto zero representa a energia para colocar um oscilador estático no vácuo, o que mostra novamente que as flutuações do vácuo são a razão da mecânica quântica.

é o potencial quântico de Bohm e

V

é o potencial da equação de Schrödinger. A circulação do campo de velocidade de fluxo ao longo de qualquer trajetória fechada obedece à condição auxiliar

{\begin{matrix}\Gamma \doteq \oint {m\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar ,&n\in \mathbb {Z} \\\end{matrix}}

. ^[4]

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

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Na equação de Schrödinger

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

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onde a função de onda ψ(r,t) é uma função complexa da posição r e tempo t, a densidade probabilidade ρ(r,t) é uma função real definida por

\rho (\mathbf {r} ,t)=R(\mathbf {r} ,t)^{2}=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

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Sem perda de generalidade, podemos expressar a função de onda ψ em termos da densidade de probabilidade real ρ = |ψ|² e uma função de fase da variável real S que são ambas também funções de posição e tempo:

\psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }

Quando fazemos isto, a equação de Schrödinger separa-se em duas equações,

-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\rho {\frac {\nabla S}{m}}\right)\qquad (1)

-{\frac {\partial S}{\partial t}}=V+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+Q\qquad (2)

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

com

Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\nabla ^{2}\rho }{2\rho }}-\left({\frac {\nabla \rho }{2\rho }}\right)^{2}\right)

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

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+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

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Se identificarmos o momento como

\mathbf {p} =\nabla S

e a energia como

E=-\partial S/\partial t

, então (1) é simplesmente a equação de continuidade tendo a probabilidade de

\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} =\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho {\frac {\nabla S}{m}}

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL Do SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

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D

e (2) estabelece que energia total é a soma da energia potencial, energia cinética, e um termo adicional Q, que pode ser chamado de potencial quântico. Não é por acaso que S possua a unidade e típico nome variável de ação.

A partícula é vista como tendo uma posição definida, com uma distribuição de probabilidade ρ que pode ser calculada da função de onda ψ. A função de onda "guia" a partícula por meio do potencial quântico Q. Muito deste formalismo foi desenvolvido por Louis de Broglie. Bohm estendeu o caso de uma simples partícula para a o de várias partículas e reinterpretou as equações. Elas também foram estendias para incluir o spin, embora a extensão para condições relativísticas não tenha sido bem sucedida.

A derivada material[editar | editar código-fonte]

As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento podem ser medidas de duas formas diferentes. Isso será ilustrado através da medição da velocidade do vento na atmosfera: uma forma de medir estas mudanças é com a ajuda de um anemômetro em uma estação climática, outra forma seria pela liberação de um balão atmosférico, que esteja a flutuar em equilíbrio perfeito no ar, praticamente sem massa nem inércia, só se deslocando se o fluido o arrastar. Claro que o primeiro caso é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que passam através de um ponto fixo no espaço. Contudo, no segundo caso o instrumento mede mudanças na velocidade à medida que o balão se move com o fluido. Também mede mudanças na densidade, na temperatura, na pressão, etc. No estudo da variação das propriedades dos fluidos interessa relacionar as variações ao longo do tempo num ponto fixo, com as variações ao longo de um trajeto num instante fixo, como que conjugando o anemômetro e o balão. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como derivada espacial ou de Euler. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de derivada substantiva ou Lagrangiana.

A derivada material, englobando os termos de Euler e de Lagrange, é definida pelo operador:

{\frac {D}{Dt}}(\cdot )\equiv {\frac {\partial (\cdot )}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )(\cdot )

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

\mathbf {v}

é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional de Euler, isto é, a derivada em ordem ao tempo num ponto fixo do espaço. O segundo termo representa as mudanças devidas ao movimento do fluido.

Leis de Conservação[editar | editar código-fonte]

As equações de Navier-Stokes são derivadas dos princípios da conservação da:

Adicionalmente, é necessário assumir uma relação constitutiva ou equação de estado para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua

L

definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para fora pelo movimento do fluido, mais o que é criado/consumido pelas fontes e sorvedouros dentro do volume de controle. Isto é expresso na seguinte equação integral:

{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }L\;d\Omega =-\int _{\partial \Omega }L\mathbf {v\cdot n} d\partial \Omega +\int _{\Omega }Qd\Omega

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde v é a velocidade do fluido e Q representa as fontes e sorvedouros de L no fluido.

Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim:

{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }Ld\Omega =-\int _{\Omega }\nabla \cdot (L\mathbf {v} )d\Omega +\int _{\Omega }Qd\Omega

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Note que o teorema da divergência de Gauss foi usado na dedução desta última equação, de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle. Portanto: